Boundary value problems for second order differential equations with singularities

Resumen

En la Tesis se estudia tres problemas clásicos dentro de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias singulares (uno de ellos dio origen a esta ya consolidada disciplina). Para ello se inicia con un capítulo general que estudia ecuaciones diferenciales singulares de tipo Liénard con término de fricción también singular, lo que supone una diferencia importante con relación a la extensa literatura existente sobre este tipo de ecuaciones. En el segundo capítulo damos un contraejemplo, probando que una clásica conjetura intuitiva sobre la ecuación de Lazer y Solimini no es cierta. De hecho encontramos una relación unívoca, que ocurre en el caso atractivo de esta ecuación, entre la regularidad de los coeficientes y el orden de la singularidad considerada. Más precisamente existe un valor crítico $a^*=1/(2p-1)$ para el cual si $\lambda\geq a^*$ existe una única solución periódica de \begin{equation*} u''+\frac{1}{u^{\lambda}}=h(t), \end{equation*} donde $h\in\lpoor$, si y solo si $\overline{h}>0$; en caso contrario, bajo la condición necesaria de valor medio positivo de $h$, construimos ejemplos de estas ecuaciones sin soluciones periódicas. Basándonos en los resultados abstractos del capítulo 1, en el capítulo tres estudiamos ampliamente bajo qué condiciones hay existencia de soluciones periódicas en todos los casos posibles desde el punto de vista tanto físico como matemático de las ecuaciones conocidas como de Rayleigh-Plesset (hasta la fecha actual solo habían sido estudiadas mediante simulaciones numéricas). En el último capítulo estudiamos la ecuación de Brillouin dependiente de un parámetro \begin{equation*} u''+b(1+\cos t)u-\frac{1}{u}=0, \end{equation*} encontrando un nuevo rango para éste, fuera del habitual $b\in(0,1/4)$, donde la ecuación tiene soluciones $2\pi$ periódicas. Además justificamos que la forma de plantear el problema hasta el momento no es la correcta si deseamos probar la conjetura que postula la existencia de al menos una $2\pi$ periódica solución cuando $b\in (0,1/4)$.