Estudio generalizado del análisis complejo de la teoría de líneas de transmisión y su aplicación a sistemas electromagnéticos reales" - " generalized study of the complex analysis of the transmissionline theory and its appliction to real electromagnetic systems

Resumen

La Teoría de Líneas de Transmisión (en inglés, Transmission Line Theory, TLT) desempeña un papel fundamental tanto en el ámbito académico como en ámbito profesional dentro de la Ingeniería de microondas y radiofrecuencia (RF) para el análisis e interpretación de las características de propagación de ondas electromagnéticas (EM) en sistemas guiados. Aunque el objetivo de la TLT sea caracterizar el comportamiento de ondas equivalentes de tensión y corriente en modelos de Líneas de Transmisión (en inglés, Transmission Lines, TLs), son muchos los autores que evitan analizar la TLT de manera rigurosa en medios con pérdidas arbitrarias, así como generalizar su estudio a diferentes modos EM en el mismo marco de análisis. Sin duda, evitar el análisis de las pérdidas y particularizar el análisis a una solución simplifica el análisis general, pero ello también limita la descripción y aplicación de la TLT, llevando en todo caso a analizar casos particulares y aproximaciones en lugar de plantear el análisis de forma rigurosa y general desde el principio. La Teoría Compleja de Líneas de Transmisión (en inglés, Complex Transmission Line Theory, CTLT) surge como alternativa al conocido análisis de TLs con el fin de superar las limitaciones de la clásica TLT. La CTLT está basada en el Análisis Complejo, del cual toma las definiciones de números complejos y la representación en planos complejos, que se asocian a los parámetros bajo estudio en la TLT. Esto permite: (i) una representación directa de los parámetros de la TL cuando éstos se caracterizan por medio de las parametrizaciones de interés (p. ej., las parametrizaciones de pérdidas, la asociada a la longitud de la TL, etc.); y (ii) el consiguiente análisis geométrico de las curvas planas bajo estudio. Además, debido a que los parámetros de la TL están relacionados por medio de expresiones y funciones complejas, diferentes transformaciones complejas (mappings) entre los planos con las curvas parametrizadas están caracterizadas en la CTLT. La presente Tesis se centra en el desarrollo de todos los posibles análisis en la CTLT que permitan generalizar el estudio de ondas guiadas analizadas en una versión de la TLT que la acompaña. Para tal fin: (i) la Teoría de Líneas de Transmisión con Pérdidas (en inglés, Lossy Transmission Line Theory, LTLT) para el estudio de ondas planas harmónicas (en inglés, harmonic plane waves, HPWs) ha sido planteada de forma rigurosa desde el principio. Para ello ha sido necesario obtener las ecuaciones del telegrafista directamente desde las ecuaciones de Maxwell (este proceso se ha denominado "caracterización directa") parametrizando la influencia de las pérdidas y las condiciones de contorno de estructuras que soportan este tipo de soluciones en la TL equivalente; (ii) puesto que este proceso no es eficiente por implicar el desarrollo un equivalente circuital particularizando a un solo tipo de modos (HPWs), se define la Teoría Generalizada de Líneas de Transmisión (en inglés, Generalized Transmission Line Theory, GTLT) con el objetivo de aunar todas las posibles soluciones de un sistema guiado estudiado en el dominio de la frecuencia bajo el mismo marco de análisis teórico. En este sentido, no se trata de parametrizar en una TL por cada posible modo en una teoría independiente sino utilizar una expresión (compleja) común para los parámetros básicos de la TL equivalente que implique unos parámetros de línea (también complejos) sobre los cuales se pueda mapear cualquier modo que se propague (este proceso es denominado como "caracterización inversa"). Esta caracterización inversa se ha utilizado para estudiar el caso de HPWs como en la LTLT, con el fin de poder probar su validez para el análisis complejo posterior; y (iii) las caracterizaciones directa e inversa de la LTLT se interpretan en el contexto del análisis complejo de TLs con pérdidas, dando lugar a su completa caracterización para pasar a establecer la primera versión de la CTLT (CTLT-v1). Como consecuencia de los análisis realizados, la CTLT, lejos de resultar ser una teoría cerrada para estudiar un tipo particular de modos guiados, se contempla como una metodología de análisis para cualquier tipo de modos dentro de un mismo marco. Con ello, aunque el propósito de la CTLT es el mismo que el de la TLT que la acompaña, el concepto de análisis cambia completamente, y como consecuencia las interpretaciones físicas asociadas y los posibles usos prácticos de ésta última aparecen de forma intuitiva en la CTLT asociada gracias a los análisis de tipo gráfico y geométrico. The Transmission Line Theory (TLT) plays a fundamental role in both academia and the professional background of RF and microwave engineering for the analysis and interpretation of propagative EM waves in guided systems. While the main objective of the TLT is to characterize the propagative behavior of equivalent voltage and current waves in Transmission Lines (TLs), many authors avoid dealing with a TLT that rigorously analyzes those waves in lossy mediums, as well as generalizing the study to different EM modes under the same theoretical framework. Although avoiding the losses and studying different solutions one by one simplifies the general analysis, it clearly limits the understanding and applications of the TLT to characterize specific modes which propagate in lossless media, leading to use particular cases and approximations instead of posing the problem rigorously and generalized from the beginning. The Complex Transmission Line Theory (CTLT) arises out as the alternative for the TL analysis with the purpose of overcoming the limitations of the usual TLT. The CTLT is based on the widely-known Complex Analysis, from which it takes the complex number definitions and also advantage of the representation of the parameters that characterize the TL in associated complex planes. This leads to: (i) the intuitive graphical representation of the TL parameters when those are characterized by the parameterizations which are interesting to be rigorously interpreted in the TL analysis (e.g. lossy parameterizations, the length of the TL, etc.); and (ii) the subsequent geometrical analysis of the parameterized plane curves. In addition, since the TL parameters are mutually interconnected, the complex transformations (mappings) between them are defined from complex parameterizations and characterized within the CTLT. The present Thesis is focused on developing all the possible analysis within the CTLT that lead to generalize the study of guided waves belonging to the underlying TLT. For this purpose: (i) the Lossy Transmission Line Theory (LTLT) regarding harmonic plane waves (HPWs) has been posed rigorously from the beginning, which means obtaining the equivalent telegrapher’s equations directly from the original Maxwell equations (this process is named as direct characterization) parameterizing the influence of losses and boundary conditions of the structures which support these waves into the line parameters of the equivalent TL; (ii) since the direct characterization of the equivalent TL is not efficient in the sense that it only accepts one type of solutions (HPWs), the Generalized Transmission Line Theory (GTLT) is defined with the objective of gathering all the possible solutions which may be complex parameterized in the frequency domain under the same theoretical framework. In this sense, it is not about solving each possible mode which propagates in a waveguide but obtaining an expression of the basic parameters of these solutions in terms of the constitutive parameters, frequency, etc. in order to be then parameterized into the line parameters (this process is named as inverse characterization). This inverse characterization is particularized to the case considered in the LTLT (involving HPWs); and (iii) both the direct and inverse characterizations regarding the LTLT are interpreted within the context of the Complex Transmission Line Analysis (CTLA) of lossy TLs, leading to their complete characterization and so founding the first version of the CTLT (CTLT-v1). Far from being a closed theory, the CTLT just as it is introduced in the Thesis represents a methodology of analysis to be expanded for studying different propagative solutions under the same framework. Thus, while the purpose of the CTLT keeps the same as in the original TLT, the concept of analysis completely changes. As a consequence, the physical interpretations and practical uses of the underlying TLT appear intuitively in the associated CTLT thanks to the graphical and geometrical analysis.