Álgebras no asociativas normadas completas. Teoría espectral.

Resumen

El trabajo de investigación realizado, tiene que ver con la formalización de una novedosa teoría espectral en un ambiente tan general como el de las Álgebras no asociativas normadas completas. Durante nuestra memoria, se ha pretendido extender, utilizando los mismos mecanismos que se estructuran en la elegante y profunda teoría espectral de álgebras de Banach, diversos resultados y conceptos inherentes a dicha teoría, que hasta la fecha estaban tácitamente supuestos pero no esencialmente formalizados, o bien no extendidos al nuevo ambiente debido a la dificultad que tal ampliación entrañaba. En la memoria se ha formalizado una nueva teoría espectral, cuyos pilares se asientan sobre conceptos clásicos, que extienden de manera natural los correspondientes del caso asociativo. La nueva teoría gira en torno al concepto de espectro de un elemento, que a su vez se establece en términos de operadores de multiplicación, noción que es original, pese a asentarse sobre ideas clásicas. De esta forma, ha sido posible comprobar qué aspectos de dicha teoría seguían manteniéndose en un ambiente más general no asociativo, y dilucidar aquellos que no seguían la senda clásica, desentrañando los motivos por los que ciertas ampliaciones no podían realizarse. También se ha procurado extender, a un ambiente no asociativo, diversos resultados clásicos relativos a álgebras de división asociativas. Como no todos los resultados clásicos pueden elevarse a un ambiente más general, hemos determinado qué resultados sí podían extenderse, y aquellos que no, y el porqué de la no generalización. Uno de los conceptos más relevantes de la teoría espectral, es el Radical de Jacobson de un álgebra asociativa. Históricamente, este concepto no ha sido generalizado adecuadamente a un ambiente no asociativo, salvo para casos muy específicos y restringidos, debido a las dificultadas que ello conlleva. En nuestra memoria se define un concepto de Radical de Jacobson de un álgebra no asociativa, que generaliza de manera natural el definido para un álgebra asociativa. Dicho concepto, además, posee diversas bondades que hacen de él una magnífica extensión del concepto clásico aludido, como la de, bajo determinadas condiciones, verificar la condición hereditaria para ideales del álgebra considerada, una condición que "mide" de algún modo la calidad e idoneidad de cualquier radical. La metodología utilizada en su definición simplemente sigue la senda clásica, y muestra que con los mismos requerimientos que se establecen en el ambiente asociativo, es posible, bien es cierto que bajo determinadas condiciones, establecer una nueva teoría más general, de grandes aplicaciones. Una de las aplicaciones del radical de Jacobson tiene que ver con el Teorema de Johnson, sobre la continuidad automática de homomorfismos sobreyectivos entre álgebras de Banach, siendo el álgebra de llegada semisimple, es decir, con radical de Jacobson cero. En la memoria se demuestra que, con el radical definido al que hemos hecho referencia anteriormente, se puede seguir afirmando que el teorema de continuidad automática citado sigue siendo válido en el ambiente generalmente no asociativo normado completo, lo que demuestra, consecuentemente, la unicidad de la topología de la norma completa de las álgebras normadas completas semisimples. Este hecho es una magnífica muestra de lo bien que funciona la nueva teoría espectral no asociativa formalizada en nuestra memoria. Finalmente, otra de las cuestiones tratadas en la memoria tiene que ver con otro problema de continuidad automática de homomorfismos, esta vez de rango denso. El mejor resultado conocido que involucra estos homomorfismos es el conocido Teorema de Rickart, que afirma que cualquier homomorfismo de rango denso entre álgebras de Banach, siendo el álgebra de llegada fuertemente semisimple, es continuo. Con la teoría espectral no asociativa que hemos establecido, es posible probar que, en ambiente no asociativo, dicho teorema sigue siendo válido en determinados ambientes, aunque el problema más general de saber si este resultado sigue siendo válido en un ambiente no asociativo normado completo arbitrario, es una cuestión que apunta a ser no generalmente cierta, como se muestra con algunos resultados y ejemplos. Creemos que la originalidad y la potencia de los resultados implicados en la memoria, hace de ella un documento muy original y de grandes posibilidades. De hecho, hemos tenido ocasión de comprobar las potenciales aplicaciones que nuestra teoría podría tener en ambientes algebraicos de múltiples aplicaciones en las Ciencias Aplicadas. Por ejemplo, una de las futuras líneas de investigación que se abren frente a la nueva teoría establecida tiene que ver con diversas estructuras algebraicas que están vinculadas con algunos problemas de la Genética, tanto mendeliana como no mendeliana. Nuestro interés por las aplicaciones de nuestra teoría nos ha llevado ulteriormente empezar por investigar estas cuestiones, y a corto o medio plazo pretendemos publicar una monografía sobre las álgebras genéticas (no asociativas) que pretende complementar y clarificar cómo se encuentra esta teoría actualmente. Otras estructuras no asociativas también aparecen de manera natural en procesos estocásticos (cadenas de Markov), en sistemas dinámicos, o incluso en la mecánica cuántica. Creemos que nuestra teoría espectral no asociativa tendrá mucho que decir en esas áreas de la Ciencia.