Aplicaciones de los órdenes estocásticos en teoría de riesgo

Resumen

Las ordenaciones estocásticas constituyen un conjunto de criterios cuyo objeto es comparar u ordenar distribuciones de probabilidad (o, equivalentemente, variables aleatorias) atendiendo a características tales como la variabilidad, la localización o la simetría de las mismas. Estos criterios, que generalmente hacen referencia a ordenaciones parciales (es decir, no todo par de distribuciones es susceptible de comparación), encuentran aplicaciones en campos tan diversos como la fiabilidad de sistemas en ingeniería (donde las distribuciones de probabilidad modelizan tiempos de vida), o las finanzas y los seguros (donde las distribuciones de probabilidad modelizan riesgos). Un aspecto particularmente importante de las distribuciones de probabilidad utilizadas en el campo financiero-actuarial es el conocido como riesgo de cola. La cola de una distribución (ya sea de pérdidas o de beneficios) hace referencia a sucesos que ocurren con poca frecuencia pero que tienen un elevado impacto por su magnitud. Por ello, la adecuada valoración del riesgo de cola es un elemento fundamental para garantizar la supervivencia de una empresa o la viabilidad de una línea de negocio y la comparación del riesgo de cola de dos distribuciones es un asunto crucial en la toma de decisiones en estos campos. A modo de ejemplo, las ordenaciones estocásticas permitirían evaluar, en términos de riesgo o peligrosidad, la evolución de un activo financiero que se ha modelado mediante cierta distribución de probabilidad paramétrica, a partir de la evolución de sus parámetros. En esta línea, el objetivo fundamental de esta tesis es la propuesta, estudio y aplicación de tres nuevos criterios de comparación de distribuciones de probabilidad que inciden especialmente en la forma de la cola de las distribuciones. Los nuevos órdenes son susceptibles de interpretación en términos de utilidades esperadas y son consistentes con varios índices propuestos recientemente en la literatura financiero-actuarial. Además de establecer los nuevos criterios, estudiar sus propiedades e ilustrar su uso con diversas aplicaciones en el ámbito financiero-actuarial, se establecerán las oportunas conexiones con algunos de los órdenes clásicos. Para alcanzar este objetivo fundamental, hemos estructurado la tesis en cuatro capítulos (con el objeto de facilitar la lectura, la memoria está escrita de tal forma que se puede leer cada capítulo de forma independiente). El primero es de carácter introductorio y recopila las definiciones y propiedades de los órdenes estocásticos que se utilizan a lo largo de la memoria. En concreto, repasamos en este capítulo los fundamentos de los siguientes órdenes: estocástico usual, convexo, convexo creciente, concavo creciente, starshaped, dispersivo, excess-wealth y bidireccional. En el Capítulo 2 se introduce el orden tail dispersive (dispersivo en cola) que compara variables aleatorias en términos de variabilidad y que se interpreta, de acuerdo con lo comentado en los párrafos precedentes, en términos del grosor de las colas de las distribuciones comparadas. La sección 2.2 contiene la definición, interpretación y principales propiedades del nuevo orden. En la sección 2.3 se estudia la relación entre el orden tail dispersive y algunos órdenes clásicos en variabilidad y se establecen condiciones necesarias y suficientes para ordenar variables aleatorias. Estos resultados son aplicados en la sección 2.4, donde se proporcionan algunos ejemplos de familias de distribuciones paramétrica (entre las que se incluyen la exponencial, la Pareto, la normal y la t-Student) que se ordenan, en función del valor que toman sus parámetros, con respecto al orden tail dispersive. En esta sección también se incluyen varias aplicaciones en los contextos de finanzas y seguros. En primer lugar, mostramos la consistencia de dos índices de variabilidad específicos con el orden tail dispersive, a saber: el índice de cola derecha propuesto en un contexto actuarial por Wei and Yatracos [2004] y el índice de aceptabilidad TILT propuesto, en un contexto de valoración de activos financieros, por Cherny and Madan [2009]. Finalmente, en la sección 2.5, se presenta un ejemplo con datos numéricos reales de dos instituciones financieras para mostrar, a partir de la evidencia empírica, la existencia del orden tail dispersive entre las distribuciones de log returns (o log-retornos) asociadas. Los resultados de este capítulo han sido publicados en Statistics: A Journal of Theorical and Applied Statistics, 49(5), 2015, 1042-1061. En el Capítulo 3 proponemos una medida de discrepancia, basada en la diferencia media de Gini, para contrastar la hipótesis nula de que dos variables están igualmente dispersas frente a la hipótesis alternativa de que una domina estrictamente a la otra con respecto a un cierto orden dispersivo. Los órdenes considerados son: el orden dispersivo, el orden convexo, el orden excess-wealth, el orden dilatación y el orden tail dispersive. A diferencia de otros contrastes específicos que se encuentran en la literatura y que han sido desarrollados para cada uno de los órdenes, nuestro procedimiento es válido para contrastar simultáneamente todos los órdenes citados. Por otra parte, dado que la diferencia media de Gini es más informativa que la varianza en distribuciones que se alejan de la normal, el procedimiento desarrollado es particularmente útil para contrastar la variabilidad entre distribuciones de cola pesada. En la sección 3.2 se muestra la consistencia del índice de Gini con los citados órdenes en variabilidad y se describe el test. En la sección 3.3 se estudia el comportamiento asintótico del test y se plantea el problema de estimar la varianza del estimador. En particular, se comparan los resultados asintóticos obtenidos a partir de cuatro estimadores para la diferencia media de Gini: el estimador propuesto por Glasser [1962], el estimador propuesto por Nygard and Sandströn [1981] y los dos propuestos por Zenga et al. [2004]. En la sección 3.4 estudiamos, mediante simulación, la eficiencia del test a partir de la evaluación de su función potencia bajo modelos alternativos. Para finalizar el capítulo, incluimos en la sección 3.5 una aplicación en la que comparamos los cuatro estimadores mencionados a partir de los datos reales de dos instituciones financieras. En el Capítulo 4 se introduce dos nuevos órdenes estocásticos, llamados right-tail order (orden de la cola derecha) y left-tail order (orden de la cola izquierda), basados en la comparación de la cola derecha y de la cola izquierda de distribuciones de probabilidad X e Y: La sección 4.2 contiene las definiciones, interpretaciones y principales caracterizaciones de los nuevos órdenes de cola. En la sección 4.3 se estudia la relación entre los nuevos órdenes y algunos otros clásicos órdenes de cola, incluyendo el orden convexo creciente y el orden cóncavo creciente, además se establecen algunas condiciones suficientes para ordenar variables aleatorias. También se estudia, en la sección 4.4, los nuevos órdenes de cola en algunas clásicas familias paramétricas y la relación con el concepto de distribuciones skew-symmetric propuesto por Azzalini [1985]. Para finalizar este capítulo, se presenta un ejemplo con datos numéricos reales de dos instituciones financieras para mostrar, a partir de la evidencia empírica, la existencia del left-tail order entre las distribuciones de log returns asociadas. En el Capitulo 5, resumimos nuestras principales aportaciones y explicamos las futuras líneas de investigación. Para finalizar, hemos incluido un anexo con el algoritmo implementado en código R que ha sido utilizado en las aplicaciones desarrolladas en el Capitulo 3, secciones 3.4 y 3.5, de la tesis.