Generalización de la teoría de señales y sistemas para su aplicación a la descripción, resolución y parametrización de problemas electromagnéticos

Resumen

La Teoría de Señales y Sistemas (SST) desempeña un papel fundamental en la formación académica y profesional de la ingeniería eléctrica, así como en otras áreas científicas, tales como procesado de señal, electromagnetismo (EM), acústica o mecánica cuántica, por ejemplo. Aunque muchos autores presentan esta teoría siguiendo un esquema que es válido para el análisis general de los sistemas lineales no invariantes, se evita tratar con conceptos más generales que limitan en gran medida las explicaciones asociadas a la resolución de una gran cantidad de problemas físicos. Estas limitaciones están relacionadas con la interpretación matemática y física de muchos de los conceptos que subyacen bajo la SST, por ejemplo: (i) la definición de las funciones generalizadas, tales como la función delta de Dirac, que es esencial para entender la SST, sin considerar la rigurosidad matemática de la teoría de las distribuciones (este aspecto resulta esencial si se piensa en términos de distribuciones de variable compleja, tal y como se verá más adelante en los antecedentes que dieron lugar a los trabajos presentados en esta tesis), (ii) el hecho de hacer el análisis de los sistemas lineales e invariantes en los dominios del tiempo y la frecuencia realizando el análisis espectral bajo la transformada de Fourier solamente (o su versión compleja -transformada de Laplace-, problema dual al que se presenta en los antecedentes a la hora de `complexificar¿ espacios reales), (iii) el estudio generalizado de los problemas físicos sin considerar una teoría generalizada de la SST, (iv) el análisis generalizado de las transformaciones si tener en cuenta su relación con la teoría de operadores, (v) el análisis de problemas de variable discreta y continua por separado, etc. Todas estas simplificaciones dejan de lado muchos problemas importantes que deben ser analizados bajo la SST pero no encajan en los desarrollos actuales de la teoría. Esto es particularmente importante cuando se enfoca el análisis de los problemas físicos (problemas de EM en nuestro caso particular) bajo la SST: (i) problemas en el dominio espacial, que suelen ser lineales no invariantes, (ii) el análisis en el dominio del tiempo de sistemas lineales no invariantes (tómese como ejemplo sencillo el caso de la modulación en amplitud), (iii) el análisis espectral bajo otro tipo de transformadas, en relación con las representaciones habituales que utiliza diferentes funciones de onda como funciones base (ondas cilíndricas, ondas esféricas, haces Gaussianos, haces complejos, wavelets, etc.), (iv) el análisis de la teoría de las funciones de Green como caso particular de la SST, (v) la consideración de la teoría de la distribuciones junto con las funciones ordinarias a través de la teoría de los espacios de Hilbert equipados, (vi) la posibilidad de ampliar la SST habitual a funciones de variable compleja, un objetivo futuro muy importante en nuestro caso particular (referirse al Cap. 2), con el fin de entender la continuación analítica de coordenadas reales en espacios complejos para modelar haces complejos, Gaussianos o pseudo-gaussianos y (vii) la posibilidad de generalizar el análisis de operadores no lineales, así como otros muchos tipos de problemas que tienen que ser estudiados fuera de esta teoría como un problema independiente. Con todos estos aspectos en mente, el presente informe pretende, por un lado, enmarcar los contenidos de la tesis dentro de las líneas de investigación descritas en los antecedentes de la misma y, por otro lado, presentar los principales resultados de dicha tesis, comenzando con un resumen de la última versión de la Teoría Generalizada de Señales y Sistemas (Generalized Signals & Systems Theory) GSST-v1c junto con un resumen de las principales conclusiones y lineas futuras. Estas consideraciones, que siguen la misma estructura que la tesis completa, se recogen en los Caps. 2, donde se enuncian los antecedentes que han dado pie al desarrollo de esta tesis; 3, donde se expone un resumen de la GSST-v1c y los principales resultados de la tesis que han dado lugar a las nuevas versiones GSST-v1d y GSST-v2; 4, donde se recogen las conclusiones y algunas posibles lineas futuras; y 5, donde se enumeran las actividades realizadas relacionadas con el desarrollo de la tesis.